Tháng 11/2012

Chuyên đề : BẤT ĐẲNG THỨC

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT:
1. Định nghĩa: a > b nếu a – b > 0
a < b nếu a – b < 0
2. Tính chất:
a) Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức:
a > b
a + c > b + c
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương:
a > b, c > 0
ac > bc
c) Nhân hai vế của với cùng một số âm và đổi chiều bất đẳng thức:
a > b, c < 0
ac < bc
II. KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƯƠNG HOẶC GIÁI TRỊ ÂM?
Dạng 1. Biểu thức có dạng tổng hiệu
Ví dụ: Tìm các giá trị của x, sao cho:
Biểu thức A = 2x – 1 có giá trị dương
Biểu thức B = 8 – 2x có giá trị âm
Giải:
a) 2x – 1 > 0
x >
Với mọi x >
thì A > 0
b) 8 – 2x < 0
8 < 2x
x > 4 Với x > 4 thì B < 0
Dạng 2. Biểu thức đưa về dạng tích:
Ví dụ: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = (x – 1)(x + 3) có giá trị âm .
Giải:
A < 0 khi các thừa số (x – 1) và (x + 3) trái dấu




Không có x thỏa mãn
Hoặc



- 3< x < 1 thì A < 0

Dạng 3. Biểu thức có dạng thương:
Ví dụ: Tìm các giá trị của x để biểu thức A =
có giá trị âm
Giải:
ĐKXĐ của biểu thức x
1
A < 0 khi tửu và mẫu trái dấu




Không có x thỏa mãn
Hoặc



- 3< x < 1 thì A < 0
III. KHI NÀO A > B HOẶC A < B:
Tìm giá trị của biến để biểu thức A – B có giá trị dương hoặc âm.
Ví dụ:
Với giá trị nào của x thì

Giải: Xét hiệu hai vế :

Ta có
nên
suy ra x > 24
Vậy x > 24 thì

VI. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC:
Một biểu thức có thể có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. Chẳng hạn xét biểu thức
x2 . Biểu thức này có giá trị dương khi x
0, có giá trị bằng 0 khi x = 0. Như vậy x2 có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất.
+ Muốn tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện hai yêu cầu: chứng tỏ rằng f(x)
m (m là hằng số) với mọi x rồi chỉ ra dấu “=” được xảy ra
+ Muốn tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện hai yêu cầu: chứng tỏ rằng f(x)
m (m là hằng số) với mọi x rồi chỉ ra dấu “=” được xảy ra
Để chứng tỏ f(x)
(m là hằng số), ta thường dùng đến các bất đẳng thức
x2
0 , |x|
0
Để chứng tỏ f(x) (m là hằng số), ta thường dùng đến các bất đẳng thức
x2
0 , - |x|
0
Ví dụ1: Tìm GTNN của biểu thức A = 2(x + 3)2 – 5

Giải: Với mọi x ta có (x +3)2
0 suy ra 2(x + 3)2
0
do đó 2(x + 3)2 – 5
- 5
Vậy GTNN của A bằng – 5 khi và chỉ khi x = - 3
Ví dụ 2: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức D =
có giá trị lớn nhất?
Tìm giá trị đó.
Giải:
Biến đổi biểu thức D =
=
= 1+

D lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất
Xét x > 4 thì
< 0
Xét x < 4 thì
> 0 . Phân số
có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mẫu 4 – x là số nguyên dương nhỏ nhất
Suy ra 4 – x = 1
x = 4. Vậy GTLN của D bằng 11
x = 4
Bài tập tự luyện: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có GTLN
a) A =
; b) B